<< はじめに >>
私たちが日常使用している０～９の数字を組み合わせてできる２３４，２３４や６７，８７６などのような数をそろばんにおくと模様のようにきれいに見えます。 これらのような数を答えとする問題は、たしざんやひきざんなら最後の方で数を調整すればできます。では「かけざん」の場合はどうすればよいのでしょうか？ それには答えとする数を素因数分解し、その素数の組み合わせで問題を作ればよいのです。これから色々な問題を載せますので、そろばんや電卓、パソコンなどで 計算してみてください。
<< 規則的に並ぶ数 >>
ABABABの場合（２桁が３回連続）
１０１０１×AB となり、１０１０１がもとになります。この１０１０１という数は、次のように素因数分解されます。
３×７×１３×３７＝１０１０１
この素因数、３，７，１３，３７のかけ合わせによって、かけられる数・かける数のどちらかを決めます。
例えば、１３×３７＝４８１ ですから、この４８１をかけられる数とします。そして、４８１×２１＝１０１０１ となるので、 かける数は２１に任意の２桁の数をかけて問題を作ります。
他には、３×７×１３＝２７３ ですから、２７３をかけられる数とします。そして、２７３×３７＝１０１０１ となるので、 かける数は３７に任意の２桁の数をかけて問題を作ります。
その他、７×３７＝２５９ ですから、２５９をかけられる数とします。そして、 ２５９×３９＝１０１０１ となるので、かける数は３９に任意の２桁の数をかけて問題を作ります。
問題例
| ４８１×２１０＝ | ２７３×７４０＝ | ２５９×１，１７０＝ |
| ４８１×２３１＝ | ２７３×７７７＝ | ２５９×１，２０９＝ |
| ４８１×２５２＝ | ２７３×８１４＝ | ２５９×１，２４８＝ |
| ４８１×２７３＝ | ２７３×８５１＝ | ２５９×１，２８７＝ |
| ４８１×２９４＝ | ２７３×８８８＝ | ２５９×１，３２６＝ |
| ４８１×３１５＝ | ２７３×９２５＝ | ２５９×１，３６５＝ |
| ４８１×３３６＝ | ２７３×９６２＝ | ２５９×１，４０４＝ |
| ４８１×３５７＝ | ２７３×９９９＝ | ２５９×１，４４３＝ |
| ４８１×３７８＝ | ２７３×１，０３６＝ | ２５９×１，４８２＝ |
| ４８１×３９９＝ | ２７３×１，０７３＝ | ２５９×１，５２１＝ |
上の問題はほんの一例です。かける数を４８１にした場合、１０１０１０～９９９９９９まで９０種類、２７３にした場合も９０種類、２５９にした場合も同様です。 さらに、２５，６４１×３９＝９９９，９９９のような問題も考えるとたくさんできますね。
上のように答えが６桁になる２桁が３回連続の他に、答えが１４桁になるものまでもととなる素因数分解の結果を載せておきます。 たくさんの問題を作ってみましょう。
| ABCABCの場合（３桁が２回連続） | ７×１１×１３＝１００１ |
| ABCDABCDの場合（４桁が２回連続） | ７３×１３７＝１０００１ |
| ABABABABの場合（２桁が４回連続） | ７３×１０１×１３７＝１０１０１０１ |
| ABCABCABCの場合（３桁が３回連続） | ３×３３３６６７＝１００１００１ |
| ABABABABABの場合（２桁が５回連続） | ４１×２７１×９０９１＝１０１０１０１０１ |
| ABCDABCDABCDの場合（４桁が３回連続） | ３×７×１３×３７×９９０１＝１０００１０００１ |
| ABCABCABCABCの場合（３桁が４回連続） | ７×１１×１３×１０１×９９０１＝１００１００１００１ |
| ABABABABABABの場合（２桁が６回連続） | ３×７×１３×３７×１０１×９９０１＝１０１０１０１０１０１ |
| ABABABABABABABの場合（２桁が７回連続） | ２３９×４６４９×９０９０９１＝１０１０１０１０１０１０１ |
例題 ８０３９０９１７１３×４６４９＝３７３７３７３７３７３７３７
<< 素因数分解 >>
ここでは、あらかじめ答えを決めておいて、それを素因数分解し、その素因数のかけ合わせによって問題を作りましょう。例として素因数分解のやり方を載せておきます。
（例） １１２２３３を答えとします。
| ３）１１２２３３ |
| １１） ３７４１１ |
| １９） ３４０１ |
| １７９ |
１１２２３３を小さい素数でわっていきます。
１１２２３３は、２ではわれない。３でわれる。
つぎに ３７４１１は３でわれない。５でわれない。７でわれない。１１でわれる。
つぎに ３４０１は１１でわれない。１３でわれない。１７でわれない。１９でわれる。
最後の１７９は１９の二乗より大きいので素数です。
したがって、 １１２２３３＝３×１１×１９×１７９ となります。
そこで、問題を作ってみると、
１１×１９ と ３×１７９ にすると ２０９×５３７ という問題になります。
３×１１×１９ と １７９ にすると ６２７×１７９ という問題になります。
このような具合に問題を作れるように、素因数分解した結果を載せておきますので、色々かけあわせてたくさんの問題を作ってみましょう。
| 答えにする数 | 素因数分解の結果 | |
| 123 | = | 3×41 |
| 234 | = | 2×32×13 |
| 345 | = | 3×5×23 |
| 456 | = | 23×3×19 |
| 567 | = | 34×7 |
| 678 | = | 2×3×113 |
| 789 | = | 3×263 |
| 890 | = | 2×5×89 |
| 987 | = | 3×7×47 |
| 876 | = | 22×3×73 |
| 765 | = | 32×5×17 |
| 654 | = | 2×3×109 |
| 543 | = | 3×181 |
| 432 | = | 24×33 |
| 321 | = | 3×107 |
| 210 | = | 2×3×5×7 |
| 1234 | = | 2×617 |
| 2345 | = | 5×7×67 |
| 3456 | = | 27×33 |
| 4567 | = | 素数 |
| 5678 | = | 2×17×167 |
| 6789 | = | 3×31×73 |
| 7890 | = | 2×3×5×263 |
| 9876 | = | 22×3×823 |
| 8765 | = | 5×1753 |
| 7654 | = | 2×43×89 |
| 6543 | = | 32×727 |
| 5432 | = | 23×7×97 |
| 4321 | = | 29×149 |
| 3210 | = | 2×3×5×107 |
| 12345 | = | 3×5×823 |
| 23456 | = | 25×733 |
| 34567 | = | 13×2659 |
| 45678 | = | 2×3×23×331 |
| 56789 | = | 109×521 |
| 67890 | = | 2×3×5×31×73 |
| 98765 | = | 5×19753 |
| 87654 | = | 2×3×7×2087 |
| 76543 | = | 素数 |
| 65432 | = | 23×8179 |
| 54321 | = | 3×19×953 |
| 43210 | = | 2×5×29×149 |
| 123456 | = | 26×3×643 |
| 234567 | = | 32×67×389 |
| 345678 | = | 2×3×17×3389 |
| 456789 | = | 3×43×3541 |
| 567890 | = | 2×5×109×521 |
| 987654 | = | 2×3×97×1697 |
| 876543 | = | 3×292181 |
| 765432 | = | 23×32×10631 |
| 654321 | = | 3×218107 |
| 543210 | = | 2×3×5×19×953 |
| 1234567 | = | 127×9721 |
| 2345678 | = | 2×23×50993 |
| 3456789 | = | 3×7×97×1697 |
| 4567890 | = | 2×3×5×43×3541 |
| 9876543 | = | 3×227×14503 |
| 8765432 | = | 23×13×89×947 |
| 7654321 | = | 19×402859 |
| 6543210 | = | 2×3×5×218107 |
| 112233 | = | 3×11×19×179 |
| 223344 | = | 24×33×11×47 |
| 334455 | = | 3×5×11×2027 |
| 445566 | = | 2×3×11×43×157 |
| 556677 | = | 32×11×5623 |
| 667788 | = | 22×3×11×5059 |
| 778899 | = | 3×11×23603 |
| 998877 | = | 3×11×30269 |
| 887766 | = | 2×3×11×13451 |
| 776655 | = | 33×5×11×523 |
| 665544 | = | 23×3×11×2521 |
| 554433 | = | 3×11×53×317 |
| 443322 | = | 2×32×11×2239 |
| 332211 | = | 3×11×10067 |
| 111999 | = | 3×37×1009 |
| 222888 | = | 23×3×37×251 |
| 333777 | = | 3×31×37×97 |
| 444666 | = | 2×3×37×2003 |
| 666444 | = | 22×3×19×37×79 |
| 777333 | = | 3×37×47×149 |
| 888222 | = | 2×3×37×4001 |
| 999111 | = | 3×37×9001 |
| 11223344 | = | 24×11×43×1483 |
| 22334455 | = | 5×11×13×31237 |
| 33445566 | = | 2×32×7×11×59×409 |
| 44556677 | = | 112×17×21661 |
| 55667788 | = | 22×11×1265177 |
| 66778899 | = | 3×11×2023603 |
| 99887766 | = | 2×3×11×31×48821 |
| 88776655 | = | 5×11×47×61×563 |
| 77665544 | = | 23×112×80233 |
| 66554433 | = | 33×11×23×9743 |
| 55443322 | = | 2×11×2520151 |
| 44332211 | = | 72×11×233×353 |
| 123456789 | = | 32×3607×3803 |
| 987654321 | = | 32×172×379721 |
| 123454321 | = | 412×2712 |
| 12345678987654321 | = | 34×372×3336672 |
| 123456789987654321 | = | 32×11×37×41×271×9091×333667 |
| 987654321123456789 | = | 32×11×37×79×139×73589×333667 |
| 123456789123456789 | = | 32×7×11×13×19×3607×3803×52579 |
| 987654321987654321 | = | 32×7×11×13×172×19×52579×379721 |
| 102030405060708090807060504030201 | = | 34×72×132×192×372×525792×3336672 |
| 1234567898765432112345678987654321 | = | 34×11×372×103×4013×3336672×21993833369 |
| 1122334455667788998877665544332211 | = | 34×72×11×132×192×372×525792×3336672 |
